Контрольная по теме Интегралы и производная

Элементы теории множеств

Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством.

Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Обычно множества обозначают большими буквами , а их элементы – малыми буквами  преимущественно латинского алфавита.

Если  – элемент множества , то говорят: " принадлежит " и записывают , в противном случае  или  и читают: "" не принадлежит ". Контрольная работа по теме интегралы

Отношения между множествами определяются соотношениями:

  – множество  является подмножеством множества ; при этом каждый элемент множества  является элементом множества ;

Линейная алгебра В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

 – множество   является собственным подмножеством множества ; здесь существует хотя бы один элемент
множества , не принадлежащий множеству ;

  – равны множества, если одновременно  и .

Очевидны свойства:

пустое множество  является собственным подмножеством всякого не пустого множества, т.е. ; любое множество – несобственное подмножество самого себя, т.е. ; для произвольных множеств  если  и , то .

Задать множество можно либо перечислением всех его элементов, либо указанием характеристического свойства элементов множества. Например, множество  – задано перечислением его четырех элементов. Множество  состоит из натуральных чисел, таких, что квадрат этих чисел равен
единице, т.е. .

Заметим, что в последующем широко пользуемся обозначениями:

  – множество всех натуральных чисел;

  – множество всех целых чисел;

  – множество всех рациональных чисел;

  – множество всех иррациональных чисел (чисел, не являющихся рациональными);

  – множество всех действительных чисел; составлено из всех чисел множеств  и ;

  – интервал;

– полуинтервал;

  – сегмент (отрезок);

 – полусегмент;

здесь  – действительные числа ; множества – числовые промежутки.

Операции над множествами названиями похожи на арифметические операции, но существенно другие.

Доказать, что . РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Множество всех четных чисел  эквивалентно множеству . В самом деле, отображение (правило)  устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами  и . Не всякое бесконечное множество является счетным

Геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Производная  это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.