Элементы теории множеств
Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством.
Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества.
Обычно множества обозначают большими буквами
, а их элементы – малыми буквами
преимущественно латинского алфавита.
Если
– элемент множества
, то говорят: "
принадлежит
" и записывают
, в противном случае
или
и читают: "
" не принадлежит
". Контрольная работа по теме интегралы
Отношения между множествами определяются соотношениями:
– множество
является подмножеством множества
; при этом каждый элемент множества
является элементом множества
;
Линейная алгебра В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.
– множество
является собственным подмножеством множества
; здесь существует хотя бы один элемент
множества, не принадлежащий множеству
;
– равны множества, если одновременно
и
.
Очевидны свойства:
пустое множество
является собственным подмножеством всякого не пустого множества, т.е.
; любое множество – несобственное подмножество самого себя, т.е.
; для произвольных множеств
если
и
, то
.
Задать множество можно либо перечислением всех его элементов, либо указанием характеристического свойства элементов множества. Например, множество
– задано перечислением его четырех элементов. Множество
состоит из натуральных чисел, таких, что квадрат этих чисел равен
единице, т.е..
Заметим, что в последующем широко пользуемся обозначениями:
– множество всех натуральных чисел;
– множество всех целых чисел;
– множество всех рациональных чисел;
– множество всех иррациональных чисел (чисел, не являющихся рациональными);
– множество всех действительных чисел; составлено из всех чисел множеств
и
;
– интервал;
– полуинтервал;
– сегмент (отрезок);
– полусегмент;
здесь
– действительные числа
; множества – числовые промежутки.
Операции над множествами названиями похожи на арифметические операции, но существенно другие.
Доказать, что
. РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.
Множество всех четных чисел
эквивалентно множеству
. В самом деле, отображение (правило)
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами
и
. Не всякое бесконечное множество является счетным
Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Производная это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.