Числовая последовательность Свойтва числовых множеств

Математика курсовая по теме Интегралы и производная

Первый замечательный предел .

Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их
эквивалентность .

Доказательство. Функция  – четная на , поэтому рассматриваем на . Из геометрических соображений (известно

из школы) , т.е.   на  или  на .

Далее используем теорему о пределе промежуточной функции, поскольку  – показано ранее.

ТЕОРЕМА (о представлении функции, имеющей конечный
предел при )

Для того чтобы функция  имела при  конечный
предел , необходимо и достаточно, чтобы функция   была бесконечно малой при . [an error occurred while processing this directive]

Символическая запись: 

.

Доказательство  рекомендуем провести самостоятельно. Оно следует из применения определения конечного предела функции.

В теореме указано необходимое и (одновременно) достаточное условие существования конечного предела функции, поэтому она – КРИТЕРИЙ существования конечного предела функции при .

ТЕОРЕМА (о произведении б/м на ограниченную функцию)

Произведение функции б/м при  на функцию, ограниченную на , есть функция б/м при .

Доказательство. Пусть  – ограниченная на  функция,, т.е. .

Пусть   – б/м при , т.е.

.

Тогда на окрестности  верно неравенство

.

Итак, , т.е. .

. Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их эквивалентность .

Односторонние пределы

Второй замечательный предел .

Величина f¢ (x) Dx называется главной частью приращения функции y = f(x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента Dx (можно сказать – пропор­циональна приращению Dx). Это означает, что если приращение аргумента Dx уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.
Вычислить интеграл