Исследование функции и построение ее графика
ТЕОРЕМА (о необходимом и
достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой 
при 
или
при 
)
Пусть
функция 
определена на 
. Прямая 
– наклонная асимптота для при тогда и только тогда, когда 1) 
– конечное число; 2) 
– конечное число.
Доказательство. (
) Если – наклонная асимптота при (
– числа), то 
, т.е. 
. Поэтому 
и 
.
(
) Из 1) и 2) имеем 
и , т.е. – наклонная асимптота при .
Аналогичные рассуждения при 
.
ТЕОРЕМА (о достаточном условии строгой монотонности
функции на промежутке)
,
;
;
аналогично для строгого убывания функции
.
Доказательство.
Возьмем 
, 
так, чтобы 
(
). Тогда по теореме Лагранжа найдется 
такое, что 
и 
, что соответствует определению строгого возрастания функции
на промежутке.
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования точки локального экстремума функции)
Если функция непрерывна в 
и имеет экстремум в точке 
, то 
или не существует 
.
Доказательство. Пусть 
– точка локального максимума функции , , 
, т.е. найдется окрестность этой точки 
такая, что 
, т.е. 
. Далее используем теорему Ферма.
Аналогичные рассуждения
для случая – точка локального минимума функции .
ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)
Если 1)
– непрерывна на 
и дифференцируема
в ; 
, кроме возможно точки ;
2)
или не существует ;
3)
, 
меняет знак в точке при переходе слева направо через ,
то имеет локальный экстремум
в точке .
Доказательство.
Пусть для определенности 
на 
(имеет знак "+") и 
на 
(имеет знак "–"). Тогда на 
, т.е. 
;
на
, т.е. 
,
т.е. приращение функции 
, 
сохраняет знак, в окрестности точки 
; а это означает (по определению),
что – точка локального максимума
функции .
Аналогичные
рассуждения в случае смены знака производной с "–" на "+" при
переходе слева направо через стационарную точку ().
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е.
в точке функция может иметь 
(например, 
), а производная меняет знак в бесконечном множестве точек на
всякой окрестности точки .
Контрпример. 
, 
.
ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)
Ранее рассматривалось
понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения.
Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание
функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении
закона прямолинейного движения 
материальной точки по заданной ее скорости 
. Решение сформулированной задачи основано
на понятии первообразной функции.
Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции