Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Dx = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.Исследование функции и построение ее графика
ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой
при
или
при)
Пусть функция
определена на
. Прямая
– наклонная асимптота для
при
тогда и только тогда, когда 1)
– конечное число; 2)
– конечное число.
Доказательство. (
) Если
– наклонная асимптота при
(
– числа), то
, т.е.
. Поэтому
и
.
(
) Из 1) и 2) имеем
и
, т.е.
– наклонная асимптота при
.
Аналогичные рассуждения при
.
ТЕОРЕМА (о достаточном условии строгой монотонности
функции на промежутке)
,
;
;
аналогично для строгого убывания функции
.
Доказательство. Возьмем
,
так, чтобы
(
). Тогда по теореме Лагранжа найдется
![]()
такое, что
и
, что соответствует определению строгого возрастания функции на промежутке.
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования точки локального экстремума функции)
Если функция
непрерывна в
и имеет экстремум в точке
, то
или не существует
.
Доказательство. Пусть
– точка локального максимума функции
,
,
, т.е. найдется окрестность этой точки
такая, что
, т.е.
. Далее используем теорему Ферма.
Аналогичные рассуждения для случая
– точка локального минимума функции
.
ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)
Если 1)
– непрерывна на
и дифференцируема в
;
, кроме возможно точки
;
2)
или не существует
;
3)
,
меняет знак в точке
при переходе слева направо через
,
то
имеет локальный экстремум в точке
.
Доказательство. Пусть для определенности
на
(имеет знак "+") и
на
(имеет знак "–"). Тогда на
![]()
, т.е.
;
на
![]()
, т.е.
,
т.е. приращение функции
,
сохраняет знак, в окрестности точки
; а это означает (по определению), что
– точка локального максимума
функции.
Аналогичные рассуждения в случае смены знака производной
с "–" на "+" при переходе слева направо через стационарную точку
(
).
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. в точке
функция может иметь
(например,
), а производная
меняет знак в бесконечном множестве точек на всякой окрестности точки
.
Контрпример.
,
.
ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)
Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения
материальной точки по заданной ее скорости
. Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.
Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции