(рис. 1), и предположим, что плотность
распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек
тела:
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область
(рис. 1), и предположим, что плотность
распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек
тела:
Единица измерения плотности - кг/м3.
|
|
Рис. 1.
Разобьем
тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим 
Выберем затем в каждой части по
произвольной точке 
Полагая, что в, каждой частичной области плотность
постоянна и равна ее значению в точке 
, мы получим приближенное выражение для массы всего
тела в виде суммы
(*)
Решение задач на вычисление интеграла Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R.
Предел
этой суммы при условии, что 
и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е.
что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела
Сумма
(*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом
от функции 
по пространственной
области .
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл
где
- произвольная непрерывная в области функция.
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .
Свойства
двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только,
что если подынтегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает
объем V области :
Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.
V 1.
Если функция во всех
точках области интегрирования удовлетворяет неравенствам
то
где
V - объем области .
VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
| Примеры решения задач типового
расчета Математика |
