Явление радиоактивности Радиация Электромагнитное излучение Действие ионизирующих излучений Поглощенная доза космогенные радионуклиды испытания ядерного оружия ядерный реактор продукты выброса Меры радиационной защиты воздействия радиации

Курс лекций по ядерной физике. Физика твердого тела. Примеры решения задач

Уравнение Шредингера для свободных электронов. Граничное условие Борна-Кармана.

В отсутствие взаимодействия одноэлектронная волновая функция, соответствующая энергия Е, удовлетворяющая уравнению Шредингера

-(h/2/2m) 2psi = Еpsi(r)

(1.18)

и периодическими граничным условиям Борна-Кармана

psi(x,y,z+L) = psi(x,y,z); psi(x,y+L,z) = psi(x,y,z); psi(x+L,psi,z) =psi(x,psi,z);

(1.19)

Решение волнового уравнения называют орбиталями. Оно имеет вид плоской волны

psik(r)=(1/V)1/2 exp(ikr);

(1.20)

при этом энергия электронов

Е(k) = (h/k)2/2m ,

(1.21)

где k - любой вектор, не зависящий от пространственных координат, так что p = h/k, v = p/m = h/k/m. Соответственно, энергия электрона может быть записана в привычном классическом виде

Е = p2/2m = mv2/2.

(1.22)

Величину k можно интерпретировать как волновой вектор плоской волны, поскольку плоская волна ехр(ikr) имеет постоянное значение на любой плоскости переменной k и является периодической функцией в направлениях параллельных k. Соответствующая lambda = 2pi/k -длина волны де Бройля. Собственные значения k: ki = 2pini/L , где i = x,psi, z и ni = целые числа. Плотность уровней в k-пространстве: 1/(2pi/L)2 или V/(2pi)3. В основном (с Т = 0) состоянии система из N электронов заполняет сферу в k-пространстве радиусом kF (сфера Ферми, если не сфера, то - не наинизшее состояние!)

4/3pikF3 = N/2 (2pi/L)3

Откуда для волнового вектора Ферми получаем

kF = (3pi2N/V)1/3 = (3pi2/omega)1/3 = (3pi2n)1/3,

(1.23)

где omega = 1/n = L3/N = V/N -объем, приходящийся на один электрон. Нередко этот объем представляют в виде сферы радиуса rs = (3omega/(4pi))1/3 =(3/(4pin))1/3 и тогда

kF = (3pi2/(4/3pirs3)1/3 = 1/rs (9pi/4)1/3 = 1.92/rs = 3.63/(rs/a0)1/A,

(1.24)

где а0 = h/2/mе2 = 0.529 10-8 см - боровский радиус.

vF = (h/kF/m)= (h//m) (3pi2/omega)1/3 = (h//m)(3pi2n)1/3 = 4.20·108/(rs/a0) см/с.

(1.25)

Учитывая, что а0 = h/2/mе2, энергию Ферми часто записывают в виде

Е F = (h/kF)2/2m = (е2/2а0) (kFa0)2 = Rpsi(kFa0)2,

(1.26)

где Rpsi = е2/2а0 = 13.6 эВ - постоянная Ридберга, представляет собой энергию связи основного состояния атома водорода. Поскольку kFa0 ~ единицы, то эн. Ферми по порядку величины соответствует энергии связи в атоме. Для практических оценок:

Е F = 50.1 эВ/(rs/a0)2.

(1.27)

Поскольку ЕF = (h/2/2m) (3pi2 N/V)2/3 то полное число орбиталей с энергиями < Е:

N = (V/3pi2) (2mepsilon/kappa2)3/2 .

(1.28)

Отсюда плотность состояний ( число одноэлектронных орбиталей на единичный интервал энергии в единице объема):

g(Е) = dn/dЕ = (1/2pi2) (2m/h/2)3/2 Е1/2.

(1.29)

Или по другому,

ln (n=N/V) = 3/2 ln Е + const ; dN/N = 3/2 dЕ/Е.

Следовательно,

g(Е) = dn/dЕ = 3/2 n/Е.

(1.30)

    Чаще всего интересует плотность уровней на границе Ферми, как и другие характеристики электронов в этой области. Из предыдущего видно, что в пределах фактора порядка единицы, плотность орбиталей в области энергии Ферми = полному числу фермиевских электронов, деленному на энергию Ферми.
    Чтобы рассчитать энергию, приходящуюся на один фермиевский электрон, для полной энергии ф. электронов в некотором объеме V запишем

U = 2(h/2/2m)k2.

(1.31)

Поскольку объем k-пространства, приходящийся на одно разрешенное значение k, deltak = 8pi3/V, то умножая обе части ур-я на deltak и переходя к интегрированию, получаем

U8pi3/V = 2h/2/2mdk k2 = 8pih/2/2mkF5/5 ,

(1.32)

т.е. U/V = (1/pi2)h/2kF5/10m. Чтобы найти U/N, т.е. энергию основного состояния в расчете на один электрон, необходимо поделить на N/V = kF2/3pi2 , что дает

U/N = 3/10h/2 kF2/m = 3/5 EF.

(1.33)

Этот результат можно записать как

U/N = 3/5 kBTF ,

(1.34)

где TF - температура Ферми определяется соотношением

TF = ЕF/kБ = 58.2/(rs/a0)2 104 K.

(1.35)

Т.о., температура основного состояния ~104-105 K, а не нуль как это следовало бы из теории классического газа!!!


Физика твердого тела Металлы - наиболее распространенный класс материалов Радиоактивность Воздействие радиации на человека